INTEGRALES
Integrar es
el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función F(x),
busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen
a f(x).
Se
dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti-derivada de f(x); dicho
de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables
F(x) tales que:
F'(x) =
f(x).
Si una
función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose
todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
INTEGRAL INDEFINIDA
Integral
indefinida es
el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee:
· Integral de f de x diferencial de x.
· ∫ es
el signo de integración.
· F(x) es
el integrando o función a integrar.
· dx es diferencial de x,
e indica cuál es la variable de la función que se integra.
· C es
la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico
real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx =
F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la
integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)]
dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una
constante por una
función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx =
k ∫f(x) dx
a, e, k, y C son
constantes; u(x) es una función y u'(x) su derivada.
INTEGRACION POR SUSTITUCION
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.
El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por sustitución
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:
3º Se vuelve a la variable inical:
Ejemplo
INTEGRACION POR SUSTITUCION
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.
El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por sustitución
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:
3º Se vuelve a la variable inical:
Ejemplo
INTEGRACION POR PARTES
El método de integración por partes permite
calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando
la fórmula:
INTEGRALES POR FRACCIONES PARCIALES
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:
CASO 1:
La fracción 
puede escribirse así:
puede escribirse así:
Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.
CASO 2:
La fracción puede escribirse así:
puede escribirse así:
Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.
CASO 3:
La fracción puede escribirse así:
puede escribirse así:
Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente.
Ejemplo 
Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:
VILLANCICO
CON MIS INTEGRALES POR PARTES
Las
integrales por partes
Es
un método para calcular
Un
integral de una función
Cuyas
primitivas se desconocen….
(Coro)
Si me ven, si me ven
Voy
camino a ver integrales
Utilizamos
la siguiente formula
La
integral de U por de U
Igual
a U por V menos
La
integral V por d U….
(Coro)
Para
ver el caso uno
Utilizamos
directamente
La
fórmula tomando
La x
como una u…
(Coro)
Si me ven, si me ven
Voy
camino a ver integrales
Tuqui, tuqui, tuqui tuqui
Tuqui, tuqui, tuquita
Apúrate
compañeros que ya vamos a integrar. (BIS).
En
el caso dos tenemos
Un polinomio
de grado n
Lo tomamos
como u
Y
repite el proceso n veces…
(Coro)
Si me ven, si me ven
Voy
camino a ver integrales
En
el caso tres tenemos
una integral con solo un logaritmo
Esto
se integraría por partes
Tomando
V prima igual a uno…
(Coro)
Si me ven, si me ven
Voy
camino a ver integrales
Si me ven, si me ven
Voy
camino a ver integrales
En
el caso cuatro al integrar por partes
Aparece
en el segundo miembro
La
integral que hay que calcular
Se
resuelve como una ecuación…
(Coro)
Si me ven, si me ven
Voy
camino a ver integrales
Tuqui, tuqui, tuqui tuqui
Tuqui, tuqui, tuquita
Apúrate compañeros
que ya vamos a integrar. (BIS).
http://www.vadenumeros.es/segundo/integracion-por-partes.htm
http://www.inetor.com/metodos/integracion_sustitucion.html
http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_racionales.html
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